حل معادله دیفرانسیل غیرخطی با روشهای اغتشاش (Perturbation)
در این مقاله به معرفی و بررسی روش حل معادله دیفرانسیل غیرخطی میپردازیم. روشهایی که در اینجا به آنها میپردازیم عبارتند از. روش هارمونیک بالانس، بسط مستقیم، لیندشتد پوانکاره، مقیاسهای زمانی چندگانه و متوسط گیری. در معرفی و توضیح هر یک ازین روشها مثالهای کاربردی حل میشوند. در حل مثال معادله دیفرانسیل غیرخطی سعی میشود که توضیحات کامل ارائه شود.
بطور کلی معادله دیفرانسیل میتواند به طرق مختلفی تقسیم بندی شود. معادله دیفرانسیل خطی و غیرخطی، همگن و غیرهمگن، معمولی و جزئی و… . چنانچه ترکیبهای خطی از متغیر وابسته در معادله دیفرانسیل داشته باشیم، به آن معادله دیفرانسیل خطی گوییم. در غیراینصورت معادله دیفرانسیل غیرخطی خواهیم داشت. در موارد زیادی حل معادلات دیفرانسیل خطی بصورت تحلیلی وجود دارد. در حالیکه برای معادله دیفرانسیل غیرخطی در 99 درصد موارد حل تحلیلی نداریم. اما عدم وجود حل تحلیلی به معنای پاک کردن صورت مسئله نیست! ریاضیدانان بزرگی در طول سالها به پیدا کردن حل برای این معادلات پرداختهاند. حلهایی که امروزه برای معادلات دیفرانسیل غیرخطی ارائه میشود، حلهای تقریبی تحلیلی و یا نیمه تحلیلیاند. این روشهای حل اگرچه کاملا تحلیلی نیستند اما بسیار پرکاربرد میباشند.
بطور کلی 4 نوع حل برای یک معادله دیفرانسیل ارائه میشود. تحلیلی دقیق، تحلیلی تقریبی، عددی و تجربی. تکلیف حل تحلیلی دقیق که مشخص است. یک حل عادی مانند حل معادلات دیفرانسیل معمولی و خطی. حل عددی نیز در سالهای اخیر با افزایش قدرت محاسباتی کامپیوتر رواج یافته. یکی از بهترین راهها برای حل عددی معادله دیفرانسیل استفاده از روش رانگ کوتا است. آموزش حل عددی معادله دیفرانسیل بطور رایگان در گام98 ارائه شدهاست. حل تجربی نیز از آزمایش و تجربه بدست میآید. در نهایت به حل تحلیلی تقریبی میرسیم. این حلها در شرایط خاصی از مسئله، پاسخ دقیق دارند. در واقع در شرایطی که غیرخطی بودن کوچک باشد. اصطلاحاً برای Weakly nonlinear systems.
کد متلب حل معادله دیفرانسیل غیرخطی با روش متوسط گیری
با یک کلیک سخت ترین معادلات دیفرانسیل غیرخطی را به روش متوسط گیری حل کنید!
روشهای تقریبی تحلیلی حل معادله دیفرانسیل غیرخطی
روشهای تقریبی تحلیلی متعددی برای معادلات دیفرانسیل غیرخطی ارائه شدهاست. این روشها در کتب مختلف ریاضی دیده میشوند. برای جزئیات بیشتر به کتاب مقدمهای بر تکنیکهای اغتشاش (Introduction to perturbation techniques) مراجعه کنید. این کتاب توسط نایفه، یکی از بزرگترین ریاضیدانان معاصر در حوزه سیستمهای غیرخطی نوشته شدهاست.
- روش بالانس هارمونیکی The Method of Harmonic Balance
- روش بسط مستقیم The Straightforward Expansion
- روش لیندشتد پوانکاره The Lindstedt-Poincare Technique
- روش مقیاسهای زمانی چندگانه The Method of Multiple Scales
- روش متوسط گیری The Method of Averaging
- روش The Method of Renormalization و Variation of Parameters
- …
در این مقاله به توضیح روشهای فوق میپردازیم.
کد متلب رسم منحنی پاسخ فرکانسی معادله دافینگ
با یک کلیک نمودار پاسخ فرکانسی برای معادله دافینگ غیرخطی را رسم کنید!
حل معادله دیفرانسیل غیرخطی با روش بالانس هارمونیکی The Method of Harmonic Balance
در روش هارمونیک بالانس، پاسخ معادله دیفرانسیل را به صورت یک سری فوریه تقریب میزنیم. در نتیجه پاسخ بصورت فرم کلی زیر خواهد بود.
با جایگذاری این پاسخ در معادله دیفرانسیل غیرخطی و ساده سازی، فرکانس غیرخطی و پاسخ بدست میآید. بهاین صورت که پس از جایگذاری بایستی از جملات مختلف کسینوس فی فاکتورگیری نمود. در مثال زیر معادله دیفرانسیل غیرخطی دافینگ با استفاده از روش هارمونیک بالانس حل شدهاست.
کافیست رابطه اول را با درنظر گرفتن 1 جمله m=1، در معادله دیفرانسیل فوق جایگذاری کنیم. همچنین توانهای 2 و 3 کسینوس را به هارمونیکهای آن تبدیل کنیم. یعنی:
در نتیجه داریم:
حال بایستی برحسب هارمونیکهای مختلف مرتب سازی کنیم. یعنی:
در رابطه فوق، ترمهای کسینوس 2 و 3 فی اهمیت ندارند. چراکه حل را با یک جمله درنظر گرفتیم. در نتیجه با مساوی صفر قرار دادن ضریب کسینوس فی خواهیم داشت:
در نتیجه فرکانس غیرخطی سیستم محاسبه شد. توجه داریم که فرکانس سیستم به مقدار دامنه A1 وابستهاست. این پدیده فقط و فقط در سیستمهای غیرخطی اتفاق میافتد. همچنین توجه شود که A1 و بتا از شرایط اولیه محاسبه میشوند. بدین ترتیب حل تحلیلی تقریبی معادله دیفرانسیل غیرخطی به روش هارمونیک بالانس با یک جمله انجام شد.
در مثال دوم معادله دیفرانسیل دافینگ را با روش هارمونیک بالانس و درنظر گرفتن 3 جمله حل میکنیم. در این حالت پاسخ بصورت زیر خواهد بود.
با جایگذاری این پاسخ در معادله دافینگ داریم:
در نتیجه با مساوی صفر قرار دادن ضرایب هارمونیک کسینوس فی خواهیم داشت:
حل معادله دیفرانسیل غیرخطی به روش بسط مستقیم The Straightforward Expansion
در این روش پاسخ را بصورت یک سری توانی از اپسیلون و x درنظر میگیریم.
که در آن اپسیلون یک پارامتر بی بعد و کوچک است. ضمناً اگر در خود معادله دیفرانسیل، اپسیلون وجود داشته باشد، سری فوق از شماره صفر شروع میشود. یعنی.
این روش در مقایسه با روش هارمونیک بالانس، ضعیف تر میباشد. چرا که فقط پاسخ را ارائه میکند. به یاد داریم که روش هارمونیک بالانس، هم پاسخ و هم فرکانس غیرخطی را محاسبه میکرد. روش حل نیز به این صورت است که پاسخ سری را در معادله دیفرانسیل غیرخطی جایگذاری میکنیم. سپس با فاکتورگیری از ضرایب توانهای مختلف اپسیلون و صفر قرار دادن آنها، مسئله را حل میکنیم. برای درک بهتر معادله دیفرانسیل غیرخطی دافینگ را با استفاده از این روش حل میکنیم.
با درنظر گرفتن 3 جمله از سری فوق و جایگذاری در معادله دافینگ شروع میکنیم. پس از مرتب سازی برحسب توانهای اپسیلون و فاکتور گیری داریم:
حل معادله دیفرانسیل اول بسیار آسان است. پس از حل آن را در معادله دوم قرار میدهیم. توجه داریم که در سمت راست معادله دیفرانسیل دوم، x1 قرار دارد. بنابراین خواهیم داشت.
معادله دیفرانسیل فوق یک معادله دیفرانسیل خطی و غیرهمگن است. میدانیم که معادله غیرهمگن دارای یک پاسخ همگن و یک خصوصی است. اما در کتاب ارتعاشات غیرخطی- نایفه، اثبات شدهاست که فقط نوشتن پاسخ خصوصی کافیست. در واقع لزومی بر حل همگن نیست. بدین ترتیب داریم:
و در نهایت پاسخ نهایی بصورت زیر خواهد شد.
در اینجا از جملات اپسیلون به توان 3 صرف نظر شدهاست. همانطور که مشاهده میشود فقط پاسخ سیستم محاسبه شد.
حل معادله دیفرانسیل غیرخطی به روش لیندشتد پوانکاره The Lindstedt-Poincare Technique
در این روش علاوه بر بسط دادن پاسخ x(t)، فرکانس نیز بسط داده میشود.
که در آن اپسیلون یک پارامتر بی بعد و کوچک است. ضمناً اگر در خود معادله دیفرانسیل، اپسیلون وجود داشته باشد، سری فوق از شماره صفر شروع میشود.
علاوه بر آن، درای روش، از تغییر متغیر tau=wt استفاده میشود. در نهایت نیز هم x(t) و هم فرکانس غیرخطی، محاسبه میشود.
با جایگذاری پاسخ سری در معادله دافینگ و فاکتورگیری از توانهای مختلف اپسیلون داریم.
حل معادله دیفرانسیل اول بسیار آسان است.
این پاسخ را در معادله دیفرانسیل دوم جایگذاری میکنیم. توجه داریم که پس از جایگذاری، این معادله یک معادله دیفرانسیل غیرهمگن خواهد شد. اما همانطور که در بخش قبل هم دیدیم نیازی به نوشتن پاسخ همگن نیست و فقط پاسخ خصوصی نوشته میشود. بنابراین.
حال پاسخهای x1 و x2 را در معادله دیفرانسیل سوم جایگذاری میکنیم. در نتیجه.
پاسخ همگن معادله فوق بصورت a*cos(phi) خواهد بود. از طرفی در سمت راست نیز یک ضریب در کسینوس فی ضرب شدهاست. در این شرایط به این ترم اصطلاحاً حل سکولار گویند. چرا که دقیقا مشابه با پاسخ همگن معادله دیفرانسیل است. حلهای سکولار در یک معادله دیفرانسیل مشکل ایجاد میکنند. در واقع باعث میشوند شکل نوسانی پاسخ از بین برود. به همین دلیل بایستی ضریب حلهای سکولار را برابر صفر قرار دهیم. با این کار از ایجاد مشکل ذکر شده جلوگیری میشود. بدین ترتیب با صفر قرار دادن حل سکولار داریم:
به این ترتیب پاسخ و فرکانس طبیعی غیرخطی سیستم محاسبه شد.
روش مقیاسهای زمانی چندگانه The Method of Multiple Scales
در این روش بجای یک زمان، مقیاسهای زمانی سریع، آهسته، خیلی آهسته و… ارائه میشود.
در واقع تغییرات سریع سیستم تحت تابعی از T0 ارائه میشود. همچنین تغییرات آهسته نیز ترکیبی از زمانهای T1 و T2 خواهند بود. بطور کلی مقیاسهای زمانی را بصورت زیر تعریف میکنیم.
باتوجه بهاینکه در معادله دیفرانسیل مشتقات نسبت به زمان مورد نیاز است. اپراتور مشتق در روش مقیاسهای زمانی چندگانه را تعریف میکنیم. در این صورت داریم.
پاسخ x را مشابه با روشهای قبل، بصورت یک سری از اپسیلون درنظر میگیریم.
حل معادله دیفرانسیل غیرخطی به روش روش مقیاسهای زمانی چندگانه
ادامه توضیح روش مقیاسهای زمانی چندگانه را در قالب مثال ارائه میکنیم. برای این منظور، حل معادله دیفرانسیل دافینگ را درنظر میگیریم. با جایگذاری پاسخ سری فوق در معادله دافینگ داریم.
مشابه با قبل، اولین معادله را حل کرده و در معادله دوم قرار میدهیم. برای حل معادله دیفرانسیل خطی اول، پاسخ را به فرم مختلط درنظر میگیریم.
پس از جایگذاری پاسخ فوق در معادله دیفرانسیل دوم، داریم.
که ترم cc بیانگر پاسخ مزدوج مختلط (Complex Conjugate) میباشد. همچنین واضح است که ترم اول حل سکولار است. آن را برابر صفر قرار میدهیم.
در نتیجه مشخص میشود که A مشتق از T1 است. حل خصوصی معادله دیفرانسیل دوم پس از حذف حل سکولار بصورت زیر خواهد بود. قبلا هم ذکر شد در این معادله غیرهمگن نیاز به نوشتن پاسخ همگن نیست. بنابراین فقط پاسخ خصوصی را مینویسیم.
حال دو پاسخ x1 و x2 را در معادله دیفرانسیل غیرهمگن سوم جایگذاری میکنیم.
واضح است که ترم اول حل سکولار است. با حذف این ترم رابطه مهم زیر بدست میآید.
از طرفی دیدیم که A تابعی از T1 نیست. بنابراین آن را بصورت زیر درنظر میگیریم.
با جایگذاری A در رابطه فوق و جداسازی بخش حقیقی و مختلط داریم:
از رابطه سمت چپ، ثابت بودن a نتیجه میشود. بنابراین از رابطه سمت راست بتا محاسبه میشود.
با جایگذاری بتا در رابطه A داریم.
بدین ترتیب با جایگذاری A در پاسخ x1 و x2 داریم.
که تا مرتبه اپسیلون به توان 3 نوشته شدهاست. فرکانس طبیعی غیرخطی نیز در این رابطه بصورت زیر است.
حل معادله دیفرانسیل غیرخطی به روش متوسط گیری The Method of Averaging
مبتکران روش متوسط گیری دو دانشمند به نامهای Krylov و Bogoliubov میباشند. ازین رو این روش به نام روش B&K نیز شناخته میشود. در این روش معادله دیفرانسیل غیرخطی را به فرم زیر مینویسیم.
در ادامه پاسخ این معادله دیفرانسیل غیرخطی را مشابه با قبل بصورت زیر درنظر میگیریم.
سپس با فرض اینکه دو پارامتر a و بتا تابعی از زمان باشند، محاسباتی انجام میدهیم. این محاسبات به نتیجه بسیار مهم زیر منجر میشود.
در نتیجه برای حل معادله دیفرانسیل غیرخطی کافیست ابتدا انتگرال اول و دوم را محاسبه کنیم. پس از آن از رابطه اول a محاسبه میشود. سپس با جایگذاری در رابطه دوم، بتا نیز بدست میآید. به همین راحتی معادله دیفرانسیل غیرخطی حل میشود. برای درک بهتر روش حل متوسط گیری مثال زیر را درنظر بگیرید.
با تشخیص f و محاسبه انتگرالها داریم.
رابطه اول یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول بسیار ساده است. در معادله دوم نیز با توجه به صفر بودن سمت راست، بتا یک مقدار ثابت خواهد شد. با جایگذاری a و بتا در رابطه پاسخ، داریم.
به این ترتیب با استفاده از روش متوسط گیری معادله دیفرانسیل غیرخطی فوق حل شد.
این مقاله آموزشی به کوشش تیم تولید محتوای علمی گام98 در راستای ارتقای دانش و استفاده از آن نوشته شده است. درصورتی مفید بودن این مطلب آن را برای دوستان خود به اشتراک بذارید.
مطالب زیر را حتما مطالعه کنید
آموزش ضربه و مومنتوم (تکانه) خطی به زبان ساده+ حل مثال
آشنایی با گاورنر| انواع و کاربردهای آن در صنعت
اثر کوریولیس| فرمول شتاب و نیروی کوریولیس+ ویدئو
شتاب لحظهای و متوسط| مفهوم و حل مثال
سرعت و تندی متوسط و لحظهای| فرمول محاسبه و مثال کاربردی
آموزش جامع حل مسائل دینامیک و ارتعاشات
دوره های آموزشی مرتبط
1 دیدگاه
به گفتگوی ما بپیوندید و دیدگاه خود را با ما در میان بگذارید.
ممنونم از اطلاعات مفید شما.مطالب کاملا واضح و به زبان ساده نگارش یافته است.