آموزش جامع حل مسائل دینامیک و ارتعاشات
در این مقاله به ارائه یک روند جامع برای حل مسائل دینامیک و ارتعاشات میپردازیم. در ابتدا مقدمهای درباره سیستمهای دینامیکی (و یا ارتعاشی) ارائه شده و سپس روند حل مسئله معرفی میشود. پس از آن برای هریک از مراحل حل مسئله، توضیح ارائه میشود. با ما همراه باشید.
بطور کلی یک سیستم ارتعاشی (و یا دینامیکی) میتواند دارای المان جرم، فنر و دمپر (میراگر) باشد. هریک از این المانها یک نوع انرژی را در خود ذخیره میکنند و خاصیت خود را دارند. جرم، مشخصه اینرسی (مقاومت در برابر شتاب) یا ذخیره کننده انرژی جنبشی میباشد. المان فنر، بعنوان مقاومت در برابر جابجایی بوده و ذخیره کننده انرژی پتانسیل میباشد. نقش دمپر (میراگر) نیز مقاومت در برابر سرعت بوده و اتلاف انرژی سیستم را نشان میدهد. اگرچه وجود دمپر گاهی روند حل را سختتر از قبل میکند اما حل را به واقعیت نزدیک میکند. چراکه در طبیعت همواره اتلاف انرژی (از راه اصطکاک، مقاومت هوا و… ) داریم. درک صحیح نقش هریک از المانهای ذکر شده، حل مسائل را سادهتر میکند.
حال روند حل مسائل دینامیک و ارتعاشات ارائه میشود. این روند را در چهار مرحله معرفی میکنیم. مرحله اول، مدلسازی ریاضی سیستم فیزیکی. مرحله دوم، استخراج معادلات حرکت سیستم دینامیکی. مرحله سوم، حل ریاضی معادلات حاکم بر سیستم. مرحله چهارم، تفسیر فیزیکی نتایج حل. حال این مراحل را با جزئیات بیشتر توضیح میدهیم.
مدلسازی ریاضی سیستم فیزیکی
اولین قدم برای حل مسائل دینامیک و ارتعاشات (و هر مسئله مهندسی) مدلسازی ریاضی است. در واقع در این مرحله، سیستم فیزیکی به یک مدل ریاضی تبدیل میشود. ارتباط بین المانهای ذکر شده در مقدمه، بصورت ریاضی بیان میشود. در واقع هدف اینبخش شناخت رفتار ذاتی سیستم به کمک ریاضیات است. مثلا در درس ارتعاشات مکانیکی، هنگامی که یک سیستم یک درجه آزادی جرم و فنر را درنظر میگیریم، مدلسازی ریاضی انجام میدهیم. نمونه فیزیکی این مسئله میتواند یک خودرو، یک جرم و… باشد.
استخراج معادلات حرکت سیستم دینامیکی
پس از اینکه مدلسازی ریاضی انجام شد، به استخراج معادلات حرکت میپردازیم. برای استخراج معادلات میتوان از قوانین حرکت نیوتن و یا روش انرژی استفاده کرد. برای مثال از ذات فنر میدانیم که در برابر تغییرمکان مقاومت میکند. پس با استفاده از قوانین حرکت نیوتن میتوان نیروی فنر (خطی) kx- را استخراج کرد. البته این نیرو (kx-) از درک فیزیکی ما نیز بدست میآید. برای المان جرم نیز به همین ترتیب نیروی ma بدست میآید. دراین عبارت a شتاب و m مقدار جرم است. این نیرو از درک صحیح نیروی اینرسی (مقاومت جرم در برابر شتاب) بدست میآید.
در استخراج معادلات حرکت سیستم، فرض رفتار خطی برای سیستم مناسب است. از آنجایی که در درس دینامیک و ارتعاشات مکانیکی دوره کارشناسی (لیسانس) رفتار خطی بررسی میشود، این فرض صحیح است. اما در حالت کلی رفتار یک سیستم میتواند غیرخطی نیز باشد. البته غیرخطی بودن رفتار سیستم منجر به پیچیدگی در حل خواهد شد و به همین دلیل در دوره کارشناسی از آن اجتناب میشود. سیستمهای خطی دارای مزیتهایی نسبت به سیستم غیرخطیاند که در زیر اشارهای به آن میکنیم.
پاسخ سیستم خطی متناسب با ورودی است.
اصل سوپرپوزیشن (جمع آثار) برقرار است.
رفتار نسبتاً خوبی برای یک سیستم ارائه میکنند.
در موارد زیادی حل تحلیلی برای آنها وجود دارد.
حلهای عددی برای این معادلات به خوبی توسعه یافتهاند. (درصورت عدم وجود حل تحلیلی)
سیستمهای خطی پایهای برای شناخت سیستمهای غیرخطیاند.
حل معادلات حاکم بر سیستم
پس از اینکه معادلات سیستم استخراج شد، نوبت به حل آنها میرسد. معمولاً در یک سیستم دینامیکی (یا ارتعاشی) این معادلات، معادلات دیفرانسیل هستند. پس لازمه حل این معادلات، دانش معادلات دیفرانسیل است. این معادلات را میتوان بصورت تحلیلی و یا عددی حل نمود. نرمافزار متلب قدرت زیادی در حل معادلات دیفرانسیل دارد. در وبلاگ گام98 و بخش آموزش متلب، به آموزش حل معادلات مختلف پرداخته شده است.
تفسیر فیزیکی نتایج حل
پس از حل معادلات بایستی نتایج بدست آمده تفسیر شوند. چنانچه مراحل قبل به درستی طی شده باشند، نتایج اینبخش با درک فیزیکی ما سازگار خواهند بود. اثر پارامترهای مختلف در سیستم را در این مرحله میتوان ارزیابی کرد. دراین مرحله نیز از ابزارهای ریاضی برای تفسیر نتایج استفاده میکنیم. برای درک بهتر روند حل مسائل دینامیک و ارتعاشات مثال زیر را درنظر بگیرید.
حل یک مثال
در اینجا به بررسی یک مثال واقعی میپردازیم. حرکت نوسانی یک پاندول. حرکت پاندول را همه ما در زندگی روزمره به وفور مشاهده میکنیم. برای حل، از روند ارائه شده استفاده میکنیم. در اولین قدم کافیست یک مدلسازی ریاضی انجام دهیم. برای اینکار، پاندول را متشکل از یک جرم و یک طناب درنظر میگیریم. جرم را m و طول طناب را L فرض میکنیم. لازم به ذکر است که از جرم طناب صرف نظر میکنیم. پس مدلسازی ریاضی بصورت شکل زیر میشود.
در مرحله بعد به اسخراج معادلات میپردازیم. برای اینکار از فرم دورانی قانون دوم نیوتن (رابطه اویلر) استفاده میکنیم (شکل زیر). در سمت چپ این رابطه گشتاور حول مرکز دوران نوشته شده است. سمت راست نیز حاصل ضرب ممان اینرسی در شتاب دورانی را نشان میدهد. در نهایت شکل سادهسازی شده را مشاهده میکنیم.
معادله دیفرانسیل اخیر، یک معادله دیفرانسیل غیرخطی میباشد. حتما متوجه شدهاید که وجود سینوس تتا باعث غیرخطی شدن این معادله شده است. برای سادگی این معادله را به یک معادله خطی تقریب میزنیم. برای خطیسازی کافیست سینوس تتا را هم ارز با تتا بگیریم. پس شکل نهایی معادله دیفرانسیل خطی بصورت زیر خواهد بود.
این معادله دیفرانسیل به راحتی قابل حل است. حل تحلیلی آن در زیر ارائه شده است.
که تتا پاسخ سیستم (نشان دهنده حرکت پاندول) و امگا (w) فرکانس طبیعی سیستم است. همچنین در آن A و فی دو مجهولاند و به شرایط اولیه بستگی دارند.
تفسیر نتایج مثال پاندول
پس از اینکه حل مسئله انجام شد به تفسیر آن میپردازیم. برداشتهای مختلفی از این حل میتوان داشت. مثلا اینکه جرم در عبارت فرکانس طبیعی ظاهر نشده است. این نکته بسیار مهم نشان میدهد که فرکانس حرکت پاندول به جرم آن بستگی ندارد. نکته دیگر وجود طول پاندول در مخرج کسر محاسبه فرکانس است. بدین معنا که طول با فرکانس رابطه معکوس دارد. پس افزایش طول باعث کاهش فرکانس میشود و برعکس. یک برداشت دیگر نیز میتواند این باشد که افزایش طول پاندول منجر به کاهش فرکانس و در نتیجه کم شدن دامنه حرکت (تتا) میشود. این تفسیر با برداشت فیزیکی ما از پاندول مطابقت دارد. چراکه بدیهی است هرچه طول پاندول بیشتر باشد، در حرکت خود زاویهی بیشتری را طی میکند.
تفاسیر فوق از یک مثال بسیار ساده و آن هم براساس مدل خطی بود. هدف اصلی ما صرفاً ایجاد رویکرد مشاهده و تفسیر مسائل برای شما بود. در همه مسائل پیرامون خود میتوان با استفاده از روند ارائه شده مسئله را با ریاضیات بررسی کرد. ریاضیات کمک بزرگی در این زمینه به انسان میکند تا درک بهتری نسبت به پدیدههای محیط داشته باشد. امیدوارم این مثال و روند ارائه شده برای حل مسائل برای شما مفید باشد.
این مقاله آموزشی به کوشش تیم تولید محتوای علمی گام98 در راستای ارتقای دانش و استفاده از آن نوشته شده است. درصورتی مفید بودن این مطلب آن را برای دوستان خود به اشتراک بذارید.
1 دیدگاه
به گفتگوی ما بپیوندید و دیدگاه خود را با ما در میان بگذارید.