آموزش ضربه و مومنتوم (تکانه) خطی به زبان ساده+ حل مثال
در درس فیزیک دبیرستان با مفهوم تکانه یا اندازه حرکت آشنا شدیم. در ادامه، در دروس مختلف دانشگاه نظیر فیزیک پایه و درس دینامیک، با تکانه (مومنتوم خطی) سروکار داشتیم. مفهوم ضربه (برخورد) در درس دینامیک ارائه شده و به نوعی نیروی منتقل شده در واحد زمان است. در این مقاله بطور کامل به مبحث مومنتوم خطی و مفهوم ضربه (برخورد) میپردازیم. همچنین در انتهای این آموزش، مثالهای متنوع از مبحث ضربه و مومنتوم حل خواهد شد. با ما همراه باشید.
مومنتوم خطی (Linear Momentum) یا تکانه خطی، یک کمیت برداری برای بیان ویژگیهای جسم است. لازم بهذکر است که ترجمه فارسی دیگری که برای مومنتوم خطی ارائه شده، اندازه حرکت خطی میباشد. طبق تعریف، مومنتوم خطی بصورت حاصل ضرب جرم در سرعت تعریف میشود. این تعریف با درک شهودی ما نیز مطابقت دارد. در واقع از نظر حس فیزیکی، یک جسم بزرگ و سریع مومنتوم بیشتری نسبت به یک جسم کوچکتر و کندتر دارد. در فیزیک و دینامیک، مومنتوم خطی (تکانه خطی) با حرف P و یا G نمایش داده میشود.
طبق رابطه فوق، مومنتوم خطی (تکانه خطی) با جرم جسم و همچنین سرعت آن نسبت مستقیم دارد. بنابراین هر چه جرم یا سرعت یک جسم بیشتر باشد، تکانه آن بیشتر میشود. همانظور که ذکر شد، تکانه خطی یک کمیت برداری است که جهتی برابر با بردار سرعت v دارد. واحد مومنتوم خطی در سیستم SI بصورت کیلوگرم متر بر ثانیه (Kg.m/s) و یا نیوتن ثانیه (N.s) است. همچنین در سیستم US نیز واحد مومنتوم خطی بصورت پوند ثانیه (lb.sec) است.
مفهوم مومنتوم (تکانه) خطی
تصور کنید که در راهرویی از یک فروشگاه بزرگ قرار دارید. در این لحظه، یک سبد خرید خالی و یک سبد خرید پر (با جرم زیاد) به سمت شما درحال حرکت است. سرعت حرکت هر دو سبد یکسان است. چنانچه در این مکان ثابت بمانید، یکی از سبدهای خرید (خالی یا پر) به شما برخورد میکند. در این لحظه ذهن شما به سرعت به دنبال یافتن بهترین راه برای نجات است. وظیفه شما این است که به سمت یکی از سبدها رفته و آن را متوقف کنید. طبیعتا هر عقل سلیمی میگوید که متوقف کردن سبد خالی آسان تر از سبد پر است. در حقیقت معیار ذهنی ما برای این انتخاب کمتر بودن جرم سبد خالی است. در این انتخاب، ما بطور پیش فرض از شهود فیزیکی خود برای نجات استفاده کردیم.
در حقیقت نیز معیاری که برای انتخاب صحیح وجود دارد، مومنتوم (تکانه) خطی است. طبق تعریفی که در بالا ذکر شد، تکانه خطی برابر با حاصل ضرب سرعت در جرم جسم است.
مومنتوم خطی و قانون دوم نیوتن
اهمیت مومنتوم (تکانه)، در اوایل توسعه فیزیک کلاسیک شناخته شد. تکانه آنقدر مهم تلقی میشد که آن را «کمیت حرکت» مینامیدند. ایزاک نیوتن در واقع قانون دوم حرکت خود را بر حسب مومنتوم خطی بیان کرد. به این صورت که: نیروی خارجی خالص برابر است با تغییر مومنتوم خطی یک سیستم تقسیم بر زمان تغییر آن. برای درک بهتر میتوان نوشت:
مومنتوم (تکانه) خطی سیستمی از ذرات
در برخی مسائل ممکن است به محاسبه تکانه خطی سیستم نیاز داشته باشیم که بیش از یک جسم داشته باشد. به این نوع سیستمها که دارای چندین جرم متمرکز (ذرهای) هستند، سیستم ذرات گفته میشود. تکانه خطی سیستم ذرات که دارای n ذره است، برابر با مجموع تکانههای خطی هر یک از ذرات است.
که در آن، بایستی حاصل ضرب جرم و سرعت هر ذره را با سایرین جمع کرد.
2. ضربه
تا به اینجا، مفهوم مومنتوم خطی و ارتباط آن با قانون دوم نیوتن مطرح شد. حال مفهوم جدیدی به نام ضربه (Impulse) معرفی میشود. در حقیقت ضربه خطی، بصورت حاصل ضرب نیرو در زمان برخورد یعنی F.dt تعریف میشود. از طرفی طبق ارتباطی که مومنتوم خطی با قانون دوم نیوتن دارد، ضربه دقیقا برابر است با مومنتوم خطی. لازم به ذکر است که، با توجه به اینکه مومنتوم خطی کمیتی برداری است، ضربه نیز کمیتی برداری خواهد بود. واحد ضربه همان واحد مومنتوم خطی، یعنی N.s در سیستم SI و lb.sec در سیستم US میباشد.
در واقع چنانچه طرفین رابطه شماره 2 را در dt ضرب کنیم، ضربه خطی برحسب مومنتوم بدست میآید:
حال به رابطه شماره 4 دقت داشته باشید. چنانچه ترم G1- را به سمت چپ رابطه منتقل کنیم، رابطهی بسیار زیبای زیر بدست میآید.
رابطه شماره 5 بیانگر ترتیب فیزیکی اتفاقات طبیعی است. برای مثال فرض کنید که جسمی با مومنتوم خطی 1 در حال حرکت است. حال به این جسم ضربه خطی وارد شده و حرکت این جسم تحت تأثیر ضربه خطی تغییر میکند. در نتیجه مومنتوم خطی جسم از حالت اولیه تغییر کرده و به شکل جدید تبدیل میشود. این فرآیند دقیقا در رابطه شماره 5 قابل مشاهدهاست. برای درک بهتر شکل زیر را مشاهده بفرمایید.
3. اصل پایستگی (بقای) مومنتوم خطی
باتوجه به رابطه 4 یا 5 اگر برآیند نیروهای وارد شده، در بازهای از زمان مساوی با صفر باشد، مومنتوم خطی ذره ثابت میماند. در این صورت گفته میشود که مومنتوم خطی ذره پایستار است. پس میتوان نوشت:
نکته مهم: با توجه به برداری بودن مومنتوم خطی، میتوان آن را در جهتهای مختلف دستگاه مختصات نوشت. با درنظر گرفتن بقای مومنتوم خطی، ممکن است مومنتوم خطی در یک راستا پایستار باشد و در یک راستا نباشد. در حقیقت تنها در جهتی که به جسم نیرویی وارد نشود، مومنتوم خطی پایستار میماند.
4. پدیده برخورد
اصل ضربه و مومنتوم، کاربرد بسیار زیادی در تشریح رفتار اجسام در طی برخورد با یکدیگر دارد. برخورد یعنی تصادف بین دو جسم. مشخصه برخورد، تولید نیروهای ضربهای نسبتاً بزرگ در مدت زمان بسیار کوتاه است. همچنین بایستی خاطر نشان کرد که برخورد پدیدهای بسیار پیچیده است. این پدیده شامل تغییر شکل ماده، بازگشت به وضعیت اولیه، تولید حرارت و صوت میباشد. برای بررسی دقیق تر پدیده برخورد، آن را به دو دسته اساسی برخورد مرکزی مستقیم و برخورد مرکزی مایل تقسیم بندی میکنیم.
برخورد مرکزی مستقیم
در برخورد مرکزی مستقیم، دو جسم در یک راستا با هم تصادف میکنند. برای آشنایی بیشتر، حرکت همراستای دو گوی به جرمهای و را مطابق شکل زیر درنظر بگیرید.
این گویها با سرعتهای و در حال حرکت هستند. در حالت ایدهآل فرض میشود که برخورد دو جسم صلب تنها در یک نقطه تماس اتفاق میافتد. در این حالت امتداد ضربه در راستای عمود به مماس مشترک دو جسم خواهد بود. اگر برخورد بیش از اندازه شدید نباشد و گویها بسیار الاستیک باشند پس از دوره بازیابی به شکل اولیه خود باز خواهند گشت. اما چنانچه برخورد شدید بوده و گویها الاستیک نباشند، ممکن است تغییرشکل دائمی بوجود آید. بطور خلاصه در حین برخورد دو جسم، مکانیزم زیر برای هر یک از اجسام اتفاق میافتد:
میتوان نیروهایی که به هریک از این اجسام در این فرآیند وارد میشود بصورت زیر نوشت.
با توجه به بقای مومنتوم خطی و یا جمع دو رابطه فوق داریم:
از طرفی چون 2 مجهول داریم یعنی سرعت گلولهها پس از برخورد، نیاز به یک رابطه دیگر برای محاسبه مجهولات است. رابطهای که برای یافتن مجهول دیگر استفاده میشود، ضریب بازگشت است. این ضریب بیانگر نسبت مقدار ضربه در دوره بازیابی به مقدار ضربه در دوره تغییرشکل است. برای درک بهتر دوره بازیابی و تغییرشکل، به شکل زیر توجه کنید:
حال میتوان رابطه ضریب بازگشت را بصورت زیر نوشت.
نکتهای که بایستی حتما به آن توجه کرد، این است که ضریب بازگشت همواره عددی بین صفر و یک است. این مقدار برای مواد کاملا الاستیک برابر یک و برای مواد پلاستیک برابر صفر است. از رابطه شماره 8 ضریب بازگشت، میتوان رابطه بسیار مهم زیر را استخراج کرد.
از طرفی چون مقدار ضریب بازگشت همواره مثبت است، میتوان نوشت:
در نتیجه، با استفاده از رابطه ضریب بازگشت و بقای مومنتوم خطی میتوان مسائل برخورد را تحلیل کرد.
برخورد مرکزی مایل
حال روابط مربوط به برخورد مرکزی مستقیم را بهحالتی تعمیم میدهیم که سرعتهای اولیه و نهایی به موازات یکدیگر نیستند. همانطور که در بخش قبل هم گفته شد، ضربه در راستای عمود بر مماس مشترک دو جسم ایجاد شده و فقط در این جهت نیروی ضربهای داریم. این جهت را n (مخفف Normal) و عمود بر آن را t (مخفف Tangential) مینامیم. در نتیجه چون 2 سرعت نهایی برای هر گلوله داریم (سرعت نهایی در جهت n و سرعت نهایی در جهت t) مجموعا 4 مجهول خواهیم داشت. برای محاسبه این 4 مجهول به 4 معادله نیاز داریم. این 4 معادله بصورت زیر ارائه میشوند.
1) مومنتوم مجموعه در راستای n پایستار است، در نتیجه
2 و 3) مومنتوم هر ذره در راستای t پایستار است. زیرا در راستای t هیچ گونه ضربهای بر هیچ یک از دو ذره وارد نمیشود. در نتیجه
4) همانند برخورد مرکزی مستقیم، ضریب بازگشت در راستای ضربه یعنی n نوشته شده و داریم:
5. حل مثال از مبحث ضربه و مومنتوم خطی
در ویدئوی زیر که بصورت بریده شده از آموزش درس دینامیک است، حل چند مثال ارائه شدهاست. مثال بیشتر از مفهوم ضربه و مومنتوم خطی و همچنین بقای مومنتوم خطی را میتوانید در آموزش کامل درس دینامیک مشاهده بفرمایید.
این مقاله آموزشی به کوشش تیم تولید محتوای علمی گام98 در راستای ارتقای دانش و استفاده از آن نوشته شده است. درصورتی مفید بودن این مطلب آن را برای دوستان خود به اشتراک بذارید.
دیدگاهتان را بنویسید