بررسی کامل حرکت غلتشی دیسک | حل مثال
- Mojtaba
- 13 شهریور 1399
- 00:12
- No Comments
در این مقاله قصد بررسی حرکت غلتشی دیسک در چند حالت مختلف رو داریم. بدلیل کاربرد زیاد و همچنین وجود نکات فراوان، این موضوع رو برای نوشتن مقاله جدید انتخاب کردیم. امیدوارم این آموزش براتون مفید واقع بشه. با ما همراه باشید.
حرکت روی سطح صاف
اگرچه در درس دینامیک نیز با این نوع حرکت آشنا شدهایم اما همه چیز رو از صفر شروع میکنیم. ضمناً از دیدگاه و کاربرد دینامیک و ارتعاشات به این مقوله نگاه میکنیم.
در ابتدا سادهترین نوع حرکت غلتشی (بدون لغزش) یعنی حرکت دیسک روی سطح صاف رو درنظر میگیریم.
در این حالت با فرض حرکت بدون لغزش، محل تماس دیسک با زمین مرکز آنی دوران خواهد بود. خب اجازه بدید تا کلمه به کلمه این جمله رو توضیح بدیم.
منظور از حرکت بدون لغزش، حرکتی است که هیچگونه لغزش و سُر خوردن نداشته باشه. در حقیقت کلیه حرکتهای موجود در طبیعت غلتش با لغزشاند. مثلا حرکت لاستیک اتومبیل بطور کامل غلتشی (دورانی) نیست. بلکه کمی لغزش هم توی این حرکت وجود داره. دقیقا این لغزش باعث ایجاد نیروی اصطکاک و در نتیجه سایش لاستیکها میشه.
مرکز آنی دوران نقطهای از جسم و یا خارج از آن میباشد که دارای سرعت صفر است. جالبه بدونید که اگر مرکز آنی دوران در بینهایت باشه، از نظر دینامیکی به این معناست که حرکت جسم از نوع انتقالیه! پس هر نوع حرکتی (حتی انتقالی) یک مرکز دوران داره.
معمولاً در حرکت دیسک که در درس ارتعاشات مکانیکی با آن زیاد سروکار داریم، نقطه تماس با سطح همان مرکز آنی دوران است. در واقع در این نقطه سرعت نسبی دیسک (بدون لغزش) نسبت به زمین برابر صفر است. به این دلیل از کلمه ” آنی” استفاده میشود که این نقطه فقط در یک لحظه مرکز است و در لحظه دیگر بدلیل دوران دیسک، عملاً تغییر میکند. در واقع این نقطه همواره و در تمامی لحظات، همان نقطه تماس با سطح میباشد.
خب حالا که با مرکز آنی دوران آشنا شدیم، باید ببینیم چه کاربردی داره؟ میدونیم که مرکز دوران نقطه ایه که مکان، سرعت و شتاب همه نقاط براساس اون تعریف میشه. بنابراین با داشتن مرکز آنی دوران، عملاً سرعت و شتاب سایر نقاط دیسک بدست میاد.
با توجه به همه این توضیحات، به سادگی داریم:
که بیانگر سرعت و شتاب دورانی و سرعت و شتاب خطی میباشند.
حرکت دیسک درون سطح دوار
حال نوعی از حرکت غلتشی رو درنظر میگیریم که یک دیسک درون یک سطح دوار (نیم دایره) حرکت کند. شعاع دیسک برابر r و شعاع دیسک بزرگ R میباشد.
حال اگر دیسک بصورت غلتش بدون لغزش دروان کند چرخش مطلق آن برابر است با:
به این دلیل که زاویه تتا در خلاف جهت زاویه فی است، از آن کم میشود. از طرفی بدلیل حرکت غلتش خالص (غلتش بدون لغزش) میتوان نوشت:
در واقع از برابر قرار دادن سرعت خطی براساس تتا و فی رابطه فوق نوشته شده است. حال از این روابط برای محاسبه سرعت دورانی و خطی و همچنین شتاب دورانی و خطی استفاده میکنیم.
نکته بسیار مهم: در این سبک مسائل توجه داشته باشید که مرکز دوران نقطه تماس با سطح (در اینجا نقطه C) است.
در بررسی مسائل ارتعاشات نیاز به محاسبه ممان اینرسی جرمی و گشتاور دیسک داریم. در این حالت ممان اینرسی جرمی حول آن نوشته میشود، اما گشتاور همیشه حول مرکز جرم (نقطه O) نوشته میشود. ممان اینرسی جرمی دیسک درحالت حرکت غلتش بدون لغزش درون نیم دایره برابر است با.
حرکت دیسک بیرون سطح دوار
نوع دیگری از حرکت غلتشی که در آن یک دیسک روی سطح خارجی یک استوانه (دیسک) حرکت کند.
شعاع دیسک برابر r و شعاع دیسک بزرگ R میباشد. در این صورت چرخش مطلق آن برابر است با:
به دلیل اینکه زاویه تتا و فی در یک جهتاند، باهم جمع میشوند. از طرفی بدلیل حرکت غلتش خالص (غلتش بدون لغزش) میتوان نوشت:
در واقع از برابر قرار دادن سرعت خطی براساس تتا و فی رابطه فوق نوشته شده است. حال از این روابط برای محاسبه سرعت دورانی و خطی و همچنین شتاب دورانی و خطی استفاده میکنیم.
نکته: در این سبک مسائل توجه داشته باشید که مرکز دوران نقطه تماس با سطح (در اینجا نقطه C) است. در اینجا ممان اینرسی جرمی حول نقطه C نوشته میشود، اما گشتاور همیشه حول مرکز جرم (نقطه O) نوشته میشود.
حل مثال
خب حالا برای اینکه بهتر حرکت دیسک رو متوجه بشید این مثال رو ببینید.
مثال) در سیستم شکل زیر فرکانس طبیعی را محاسبه کنید.
حل: اولین قدم در حل مسائل دینامیک و ارتعاشات، رسم دیاگرام آزاد نیروهاست.
حال از فرم دورانی قانون دوم نیوتن استفاده میکنیم. در واقع این کار همون نوشتن رابطه گشتاور نیروها حول نقطهی O هست.
حالا معادلات رو به یک سمت تساوی منتقل میکنیم.
درنهایت جذر نسبت ضریب متغیر مکان به متغیر شتاب برابر با فرکانس طبیعی سیستم میباشد. پس به راحتی داریم:
جالبه اگر شعاع سطح دوار که دیسک درون آن حرکت میکند بسیار افزایش یابد، ترم دوم تقریباً برابر صفر میشود. افزایش زیاد شعاع سطح نیم دایره به معنی وجود یک سطح صاف میباشد. در واقع این فرکانس همون فرکانس حرکت دیسک برروی سطح صاف هست. که از حس شهودی ماهم این نکته قابل درک هست.
سخن پایانی
در این مقاله به بررسی کامل حرکت غلتشی دیسک روی سطح صاف و منحنی پرداختیم. امیدوارم این مطلب برای شما عزیزان مفید بوده باشد. در وبلاگ گام98 مطالب متنوعی درباره آموزش دینامیک و ارتعاشات ارائه شده و شما را به بازدید از آنها دعوت میکنیم.
ما منتظر سؤالات و مشکلات احتمالی شما در رابطه با این مقاله هستیم!
این مقاله آموزشی به کوشش تیم تولید محتوای علمی گام98 در راستای ارتقای دانش و استفاده از آن نوشته شده است. درصورتی مفید بودن این مطلب آن را برای دوستان خود به اشتراک بذارید.
دیدگاهتان را بنویسید