آموزش جامع و کامل تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود
در اولین مجموعه از آموزشهای روش اجزا محدود قصد داریم با تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود به طور کامل آشنا شویم. همچنین در این آموزش هدفهای زیر دنبال نماییم.
1- چگونه بتوانیم ماتریس سختی را تعریف نماییم.
2- تعریف ماتریس سختی برای المان فنر در روش اجزا محدود
3- اسمبل کردن یا سرهم بندی ماتریسها برای رسیدن به ماتریس سختی کل
4- تعریف انواع شرایط مرزی برای المان میله
پس توصیه میکنیم تا انتها با ما باشید تا بتوانید در شروع این روش پایه خود را قویتر کنید. قبل از آن توصیه میکنیم مقاله « آشنایی با روش اجزا محدود » را مطالعه نمایید تا با اصول کلی روش اجزا محدود آشنا شوید.
تعریف ماتریس سختی
ماتریس سختی برای یک المان ماتریسی است که جابهجاییهای گرهای را به نیروهای گرهای در یک المان مرتبط میکند. مطابق تعریف زیر :
دقت نمایید که { } مربوط به بردارها و [ ] مربوط به ماتریسها میباشند.
اگر یک سیستم پیوستهای مانند شکل زیر از مجموعهای از المانها تشکیل شده باشد، ماتریس سختی کل مرتبط به جابهجاییها گرهای و نیروهای گرهای در مختصات کلی یا همان گلوبال برای کل گرههای سیستم میباشد.
در ابتدا قصد داریم ماتریس سختی را برای المان میله با استفاده از روش تعادل مستقیم محاسبه نماییم و در مقالهای دیگر به روش انرژی که روش اصلی در بدست آوردن ماتریس سختی المانهای مختلف میباشد اشاره خواهیم کرد.
فرض کنید یک المان فنر خطی مطابق شکل زیر داریم:
جابهجایی گرهها را با u نشان دادهایم . دقت نمایید جابهجایی گرهای در هر جهت اصطلاحا یک درجه آزادی نامیده میشود. در مورد المان فنر چون فقط نیروی محوری داریم؛ هر گره دارای یک درجه آزادی میباشد. در المان فنر k را ثابت فنر یا همان سختی فنر مینامند.
همانطور که از درس مقاومت مصالح به خاطر دارید سختی محوری (یعنی المانی که تحت نیروی محوری قرار دارد.) برای یک المان بصورت k=AE/L تعریف میشود که A سطح مقطع المان، E مدول الاستیسیته و L طول المان میباشد. لازم به ذکر است که این سختی بسته به نوع المان (که بسته به نوع بارگذاری میباشد در المان فنر فقط نیروی محوری داریم.) متفاوت میباشد که با مرور با آن آشنا خواهید شد.
در ادامه تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود میخواهیم رابطهای بین نیروهای گرهای و جابهجاییهای متناظر با آن برقرار نماییم؛ بدین منظور ماتریس سختی بصورت زیر قابل تعریف است:
در رابطه بالا kij ( یعنی درایه سطر i ام و ستون j ام ماتریس سختی ) تعریف میشود: نیرویی که در درجه آزادی i ام به واسطه جابهجایی واحد در درجه آزادی j ام تشکیل میشود در حالی که جابهجایی باقی گرهها باید صفر باشد. یعنی به عنوان مثال و به زبان ساده برای پیدا کردن مثلا مولفه k12 یک جابهجایی واحد در درجه آزادی 2 میدهیم و نیروی موجود در درجه آزادی اول را محاسبه میکنیم. این روش اساس بدست آوردن ماتریس سختی میباشد. البته لازم به ذکر است که در روش اجزا محدود ماتریس سختی هر المان بدست آورده میشود و با روشی که در ادامه گفته خواهد شد ماتریس سختی کل محاسبه میشود و نیازی به استفاده از این روش نیست.
مراحل تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود
1- انتخاب نوع المان
انتخاب نوع المان برای تحلیل به روش اجزا محدود بسیار مهم است. در مورد تحلیل فنرهای خطی ما المانی داریم که تحت نیروی کششی و فشاری قرار دارد و جنس مصالح فنر کاملا به سختی آن بستگی دارد.
2- تعریف تابع جابهجایی
برای اینکه بتوانیم تغییرشکل داخل یک المان را تعیین نماییم نیاز به تعریف یک تابع تغییرشکل برای داخل المان داریم. تعریف دقیق این تابع مشکل و عملا غیرممکن است برای همین ما یک تابع تقریبی برای تغییرشکل در نظر میگیریم. در حالت ساده تابع تغییرشکل u را بصورت خطی در نظر میگیریم:
این تابع را میتوانیم به فرم زیر بنویسیم:
دقت نمایید که چون در هر المان دو درجه آزادی داریم، از یک تابع خطی با دو ضریب استفاده شده است. میتوانیم برای مراتب بالاتر از تابع تغییرشکل چندجملهای استفاده کنیم که دارای تعداد بیشتری گره در هر المان میباشد.
حال با استفاده شرایط مرزی باید بتوانیم ضرایب مجهول را محاسبه نماییم.
اگر فرض نماییم جابهجایی گره ابتدا و گره انتهای المان به ترتیب برابر u1 و u2 باشد، با اعمال شرایط مرزی خواهیم داشت:
مقدار a1 محاسبه شده و مقدار a2 با توجه به رابطه بصورت زیر میباشد:
که میتوانیم تابع تغییرشکل را بصورت زیر بازنویسی کنیم:
که در رابطه بالا Ni ها را اصطلاحا توابع شکل یا توابع درونیابی مینامند که در مورد المان فنر و میله از توابع شکل خطی استفاده شده است. در شکل زیر این توابع شکل را برای المان فنر مشاهده میکنید:
.
توابع شکل ویژگیهای خاصی دارند از جمله اینکه در گره ابتدا مقدار N1 برابر یک و مقدار N2 برابر صفر است و در گره انتهایی عکس این رابطه برقرار است که با قرار دادن مقدار x برای گره ابتدا و انتها این مورد کاملا مشخص است. همچنین مجموع توابع شکل برای هر نقطه از المان برابر یک میباشد. (N1 + N2 = 1)
دقت نمایید توابع شکل حتما در شرایط مرزی صدق میکنند و این، اشتراک این توابع با تغییرشکل اصلی فنر میباشد.
تعریف رابطه نیرو-جابهجایی برای تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود
تغییرشکل فنر تحت نیروی محوری T به جابهجایی دوسر فنر وابسته است و بصورت زیر تعریف میشود:
برای المان فنر میتوانیم رابطه نیرو و جابهجایی را بدون نیاز به رابطه کرنش و جابهجایی تعیین نماییم:
با جایگذاری مقدار تغییرشکل خواهیم داشت:
تعریف ماتریس سختی در تحلیل المان فنر به روش المان محدود
فرض نماییم فنری داریم که تحت نیروی کششی T میباشد. فرض کنیم عکسالعمل در تکیهگاهها مطابق شکل در جهت مثبت محور x باشد. با تعادل مستقیم بین نیروها و عکسالعملها خواهیم داشت:
حال با ترکیب این رابطه با رابطه قبلی خواهیم داشت:
با ضریب کردن یک منفی در طرفین رابطه اول خواهیم داشت:
حال میتوانیم رابطه را به فرم ماتریسی تبدیل نماییم تا بتوانیم ماتریس سختی را استخراج نماییم:
در رابطه فوق k را ماتریس سختی المان فنر مینامند.
تعریف ماتریس سختی و بردار نیروهای کلی
بعد از بدست آوردن ماتریس سختی هر المان و همچنین بردار نیروهای گرهای هر المان لازم است که ماتریس سختی کل و همچنین بردار نیروهای گرهای کل برای کل سیستم فنر تعیین شوند تا بتواند سیستم را تحلیل کرد.
برای این منظور همهی درجات آزادی باید شمارهبندی شوند که در این نوع المان تعداد گره با تعداد درجات آزادی برابر میباشد بنابراین به هر گره یک شماره خواهیم داد. ماتریس سختی کل یک ماتریس مربعی به تعداد کل درجات آزادی میباشد و برای بدست آوردن ماتریس سختی کل باید ابتدا ماتریس سختی هر المان محاسبه شده و سپس هر ماتریس سختی المان در قسمتی که مربوط به درجات آزادی آن است در ماتریس سختی کل قرار گیرد. همچنین درجات آزادی المانهایی که با هم مشترک هستند با هم جمع شوند تا ماتریس سختی کل محاسبه شود. برای بردار کل نیروهای گرهای نیز این نکته لازم به ذکر است که این بردار یک ستون و به تعداد درجات آزادی دارای سطر میباشد و مشابه با ماتریس سختی کل محاسبه میشود.
در روابط فوق e برای مشخص کردن هر المان و N تعداد کل درجات آزادی میباشد.
در مثالهایی که در ادامه مطرح خواهد شد به طور کاملا واضح محاسبه ماتریس سختی و بردارهای نیروهای کلی را به شما آموزش خواهیم داد.
تعیین جابهجاییهای گرهای
در انتهای تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود کافی است با حل معادله ماتریسی زیر جابهجاییهای گرهای را محاسبه نمود:
شرایط مرزی در تحلیل المان فنر به روش المان محدود
همیشه و در حل هر مسئلهای باید شرایط مرزی وجود داشته باشند. در حل مسائل سازهای باید شرایط مرزی اعمال شود و در مسائل سازهای اصطلاحا تکیهگاه به تعداد کافی وجود داشته باشد تا عملا سازه پایدار باشد. دقت نمایید که اگر شرایط مرزی اعمال نشوند و یا سازه ناپایدار باشد، عملا حل معادله ماتریسی بالا ممکن نبوده و ماتریس K معکوسپذیر نخواهد بود.
در حالت کلی سه نوع شرط مرزی وجود دارد که نوع اول آن شرط مرزی Dirichlet بوده که در آن شرط مرزی بصورت یک مقدار مشخص در مرز تعیین میشود. نوع دوم اما شرط مرزی Neumann میباشد که در این شرط مرزی مشتق برابر با مقداری تعیین میشود.
در تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود دو نوع شرط مرزی همگن و ناهمگن را در نظر میگیریم.
شرط مرزی همگن
در ادامه تحلیل المان فنر به روش المان محدود شرط مرزی همگن در واقع شرایطی است که همهی شرایط مرزی یک مسئله جابهجایی صفر داشته باشند. به عنوان نمونه در مثال زیرجابهجایی گره 1 برابر صفر است:
حال اگر دستگاه معادلات را بنویسیم، خواهیم داشت:
در این مثال عکسالعمل در گره 1 مجهول است و در دو گره دیگر معلوم است. بنابراین معادله اول که حاصل آن مشخص است و باید جابهجایی گره 3 بدست آید. با داشتن دو معادله دیگر میتوانیم جابهجایی گرههای 2 و 3 را تعیین کنیم:
بعد از بدست آمدن جابهجایی گره 3 میتوانیم عکسالعمل گره 1 را محاسبه نماییم تا تمام مجهولات محاسبه شود:
نکته مهم: همانطور که مشاهده نمودید اگر جابهجایی در یک گره صفر باشد، میتوانیم با حذف سطر و ستون مرتبط با آن گره معادلات را سادهتر کرد و مجهولات جابهجایی را محاسبه نمود. به این روش اعمال شرط مرزی، روش حذفی میگویند. روشهای دیگر اعمال شرط مرزی مانند روش پنالتی وجود دارد که در ادامه توضیح داده خواهد شد.
شرط مرزی ناهمگن
شرایط مرزی ناهمگن به شرایطی اطلاق میشود که جابهجایی گرههای مشخصی مخالف صفر باشد و به عبارتی در آن تکیهگاهها نشست تکیهگاهی داشته باشیم. فرض کنید در مثال زیر در گره 1 نشستی برابر δ داشتیم:
اگر دستگاه معادلات را با توجه به معادله ماتریسی تشکیل دهیم:
اگر معادلات دوم و سوم را در نظر بگیریم:
با جابهجایی مقدار معلوم k1 δ در معادله دوم به سمت راست معادله میتوانیم فرم ماتریسی را برای این دستگاه معادلات بنویسیم:
و در ادامه جابهجایی گره 2 و 3 محاسبه میشود و بعد از آن میتوانیم عکسالعمل گره 1 را محاسبه نماییم (از معادله اول که کنار گذاشتیم.) که به واسطه نشست δ در آن نیرو ایجاد میشود:
لازم به توجه است که در روش اجزا محدود یا عکسالعمل در یک گره مجهول است و یا جابهجایی آن و نمیتواند هر دو معلوم و یا مجهول باشد.
نکاتی درباره ماتریس سختی
در ادامه تحلیل المان فنر با روش المان محدود ویژگیهای بسیار مهمی از ماتریس سختی را بیان میکنیم:
1- ماتریس سختی یک ماتریس مربعی میباشد که با توجه به تعداد درجات آزادی و عکسالعملها، سطر و ستون ماتریس سختی کل به تعداد آنها میباشد.
2- ماتریس سختی برای هر المان متقارن میباشد که ویژگی بسیار مهمی میباشد و به راحتی قابل اثبات میباشد.
3- ماتریس سختی کل تا زمانی که شرایط مرزی بر روی آن اعمال نشده باشد، معکوس پذیر نخواهد بود و به عبارت دیگر دترمینان آن برابر صفر خواهد بود.
4- دقت نمایید که ترمهای قطری ماتریس سختی کل همیشه مثبت هستند. در صورتی که اینطور نباشد یک نیروی مثبت F میتواند جابهجایی d منفی ایجاد کند که خلاف رفتار فیزیکی در سازههای واقعی میباشد.
حل مثال از تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود
یک سیستم فنری در شکل زیر را مشاهده میکنید که شمارهبندی گرهها در آن بصورت دلخواه انجام شده است. مجهولات موجود در این سیستم را بدست آورید.
خب برای شروع کار همانطور که قبلا نیز بیان شد باید ماتریس سختی را برای هر المان محاسبه نماییم:
دقت نمایید که در محاسبه ماتریس سختی هر المان شمارهگذاری درجات آزادی بسیار اهمیت دارد که باید دقت نماییم که هر المان بین چه درجات آزادی قرار دارد و در قسمت ماتریس سختی شماره گرهها را بر روی سطر و ستونها مشخص کنیم تا در قسمت اسمبل کردن ماتریس سختی کل مشکلی نداشته باشیم.
در بخش بعدی باید ماتریس سختی کل را تشکیل دهیم که دقت نمایید درجات آزادی که در المانها با هم مشترک هستند با هم جمع میشوند. به عنوان مثال درایهی 33 در ماتریس سختی المان اول با درایه 33 ماتریس سختی المان دوم جمع میشود. (1000+2000=3000) و به این ترتیب ماتریس سختی کل تشکیل میشود.
در مرحله بعد باید شرایط مرزی بر معادله اعمال شوند که دقت نمایید در این مثال گرههای 1 و2 ثابت هستند و همانطور که در قبل گفته شد باید سطر و ستون مرتبط با آن حذف شوند. با انجام این عملیات خواهیم داشت:
حال میتوانیم جابهجایی گرههای 3 و 4 را محاسبه نماییم:
بعد از بدست آوردن جابهجاییهای گرهای باید عکسالعمل تکیهگاهی در دو تکیهگاه ابتدا و انتهای سیستم را بدست آوریم. به همین منظور فرم کلی معادله ماتریسی قبل از اعمال شرایط مرزی نوشته و با توجه به اینکه همه جابهجاییها معلوم هستند، عکسالعملها به راحتی محاسبه خواهند شد:
دقت نمایید که جهت منفی به معنای این است که عکسالعمل در خلاف محور x میباشند. همچنین مجموع نیروها تعادل را نشان خواهند داد.
اما در انتها اگر بخواهیم نیروهای داخلی هر فنر را تعیین نماییم، باید معادله ماتریسی را برای برای هر المان با ماتریس سختی خودش نوشته و با داشتن جابهجایی گرهها میتوانیم نیروهای داخلی اعضا را تعیین کنیم:
برای المان اول
برای المان دوم
برای المان سوم
منبع : کتاب اجزا محدود لوگان
مطالب زیر را حتما مطالعه کنید
کار با بردارها در متلب
آموزش کامل انواع دستورات توزیعهای آماری در متلب
در این مقاله قصد داریم انواع دستورات مهم توزیع های آماری در متلب را به همراه رسم انواع توزیعها و برازش با استفاده از توزیع های آماری بیان نماییم.
آموزش صفر تا 100 تحلیل المان میله به روش اجزا محدود
در ادامه دومین سری از آموزشهای روش المان محدود در این مقاله تحلیل المان میله به روش اجزا محدود را همراه با مثال به طور صفر تا صدی آموزش خواهیم داد.
روش اجزا محدود – Finite Element Method
روش اجزا محدود یک روش عددی برای حل مسائل مهندسی و فیزیکی میباشد. در این مقاله به طورکلی با کاربرد، تاریخچه و مراحل حل این روش آشنا خواهیم شد.
آموزش جامع انواع دستورات توزیع نرمال در متلب
در این مقاله انواع دستورات توزیع نرمال در متلب را به شما آموزش میدهیم.همچنین نحوه کار با توزیع های نرمال تک متغیره و چند متغیره را با جزئیات خواهید آموخت.
آموزش صفر تا 100 کار با فایل اکسل در متلب بصورت کاربردی
در این مقاله به صورت کاملا کاربردی و آسان کار با فایل اکسل در متلب را به شما آموزش خواهیم داد که همه زیردستوارت و تنظیمات با توضیحات کامل شرح داده میشود.
دیدگاهتان را بنویسید