آموزش صفر تا 100 تحلیل المان میله به روش اجزا محدود
در دومین بخش آموزش روش المان محدود به تحلیل المان میله خواهیم پرداخت. در بخش اول المان فنر را بررسی کردیم و در این بخش المان میله که حالت کاملتری از المان فنر میباشد را بررسی خواهیم کرد. پس با ما همراه باشید.
اهدافی که در این مقاله آنها را آموزش خواهیم داد و به آن خواهیم رسید:
1. تعریف ماتریس سختی برای المان میله
2. بدست آوردن ماتریس سختی با استفاده از تعادل مستقیم ، روش انرژی و روش گالرکین
3. حل مسائل المان میله : محاسبه جابهجاییهای گرهای، عکسالعمل تکیهگاهی و تنش در هر المان
توصیه میکنیم قبل از مطالعه این مقاله ، مقاله معرفی روش اجزا محدود و تحلیل المان فنر را مطالعه نمایید.
مقدمه
در بحث تحلیل المان میله به روش اجزا محدود باید به این نکته توجه داشته باشیم که المان میله ، المانی میباشد که فقط تحت نیروی محوری بوده و نیروهای عمود بر راستای طولی و همچنین گشتاور در آن وجود نداشته و به عبارت دیگر تحت نیروی برشی و لنگر خمشی قرار ندارد و فقط نیروی محوری در آن وجود دارد.
مثال بارزی از المان میله المانهای خرپایی میباشد که فقط عمودی و یا فقط افقی هستند. المانهای خرپا چون میتوانند در راستای مایل نیز باشند نیرو در راستاهای مختلف مختصات کلی در آن ایجاد میشود و لازم است المان میله در مختصات محلی را با استفاده از بردار انتقال به مختصات کلی تبدیل نماییم. البته فعلا نیازی نیست به این موضوع فکر کنید و در مقاله بعدی که به تحلیل المان خرپا خواهیم پرداخت به طور کلی به این موارد میپردازیم. پس فعلا فکر خود را مشغول نکنید!!
تعریف ماتریس سختی المان میله با استفاده از روش تعادل مستقیم
فرض نمایید میلهای داریم که دارای سطح مقطع ثابت A، مدول الاستیسیته E و طول اولیه L باشد. جابهجایی دو سر المان در درجه آزادی (در دو گره) را با u1 و u2 مشخص میکنیم. با استفاده از قانون هوک و رابطه بین کرنش و جابهجایی خواهیم داشت:
از تعادل نیروهای داخلی و خارجی خواهیم داشت:
دقت نمایید که در المان میله (ویا خرپا) نیروی داخلی در طول المان ثابت میباشد.
معادله دیفرانسیل یک میله تحت رفتار الاستیک-خطی بصورت زیر میباشد:
در این معادله u تابع جابهجایی محوری در جهت x میباشد. فرض میشود که سطح مقطع و مدول الاستیسیته در طول المان ثابت میباشد. نکات زیر در المان میله قابل ذکر میباشد:
1- در میله نیروهای برشی و لنگر خمشی صفر میباشد.
2- از اثرات جابهجاییهای عمودی صرف نظر میشود.
3- قانون هوک برای المان میله در حالت الاستیک-خطی برقرار میباشد.
4- در این معادله بار گسترده محوری در نظر گرفته نشده است.
در ادامه مراحل تحلیل المان میله به روش اجزا محدود را مشابه المان فنر بیان خواهیم کرد:
ا- انتخاب نوع المان برای تحلیل المان میله به روش اجزا محدود
برای المان میله با بارهای اعمال شده در گرهها مشابه همان المان فنر را خواهیم داشت و فقط این نکته قابل ذکر است که سختی هر میله با توجه به مشخصات مصالح و سطح مقطع و طول میله تعیین خواهد شد.
2- تعریف تابع جابهجایی
در ادامه تحلیل المان میله به روش المان محدود باید تابع جابهجایی تعریف کنیم. تعریف تابع جابهجایی المان میله دقیقا مشابه المان فنر میباشد که در مقاله قبلی آن را تعریف کردیم. برای اینکه نیازی به مراجعه به آن مقاله نداشته باشید، مجددا این تابع را بیان میکنیم:
برای اینکه بتوانیم تغییرشکل داخل یک المان را تعیین نماییم نیاز به تعریف یک تابع تغییرشکل برای داخل المان داریم. تعریف دقیق این تابع مشکل و عملا غیرممکن است برای همین ما یک تابع تقریبی برای تغییرشکل در نظر میگیریم. در حالت ساده تابع تغییرشکل u را بصورت خطی در نظر میگیریم:
این تابع را میتوانیم به فرم زیر بنویسیم:
دقت نمایید که چون در هر المان دو درجه آزادی داریم، از یک تابع خطی با دو ضریب استفاده شده است. میتوانیم برای مراتب بالاتر از تابع تغییرشکل چندجملهای استفاده کنیم که دارای تعداد بیشتری گره در هر المان میباشد.
حال با استفاده شرایط مرزی باید بتوانیم ضرایب مجهول را محاسبه نماییم.
اگر فرض نماییم جابهجایی گره ابتدا و گره انتهای المان به ترتیب برابر u1 و u2 باشد، با اعمال شرایط مرزی خواهیم داشت:
مقدار a1 محاسبه شده و مقدار a2 با توجه به رابطه بصورت زیر میباشد:
که میتوانیم تابع تغییرشکل را بصورت زیر بازنویسی کنیم:
که در رابطه بالا Ni ها را اصطلاحا توابع شکل یا توابع درونیابی مینامند که در مورد المان فنر و میله از توابع شکل خطی استفاده شده است. در شکل زیر این توابع شکل را برای المان فنر مشاهده میکنید:
.
توابع شکل ویژگیهای خاصی دارند از جمله اینکه در گره ابتدا مقدار N1 برابر یک و مقدار N2 برابر صفر است و در گره انتهایی عکس این رابطه برقرار است که با قرار دادن مقدار x برای گره ابتدا و انتها این مورد کاملا مشخص است. همچنین مجموع توابع شکل برای هر نقطه از المان برابر یک میباشد. (N1 + N2 = 1)
دقت نمایید توابع شکل حتما در شرایط مرزی صدق میکنند و این، اشتراک این توابع با تغییرشکل اصلی فنر میباشد.
تعریف رابطه نیرو-جابهجایی
رابطه بین کرنش-جابهجایی و تنش-کرنش به ترتیب بصورت زیر میباشند:
تعریف ماتریس سختی با استفاده از روش تعادل مستقیم برای تحلیل المان میله به روش اجزا محدود
برای تعریف ماتریس سختی المان میله مشابه با استفاده از روش تعادل مستقیم مشابه روش استفاده شده برای المان فنر عمل خواهیم کرد. از تعادل نیروها خواهیم داشت:
با استفاده از روابط بالا و با جایگذاری مقدار کرنش در رابطه تنش-کرنش و سپس جایگذاری در رابطه تعادل نیرو خواهیم داشت:
با توجه به شکل زیر نیروهای داخلی f1 مطابق زیر است:
با جایگذاری T خواهیم داشت:
و به طور مشابه برای f2 نیز خواهیم داشت:
اگر دو رابطه بدست آمده در بالا را بصورت فرم ماتریسی نمایش دهیم، خواهیم داشت:
و با توجه به رابطه زیر تعیین ماتریس سختی کار راحتی است:
رابطه بالا ماتریس سختی برای المان میله میباشد و با مقایسه با ماتریس سختی المان فنر درخواهیم یافت که :
که k همان سختی فنر در المان فنر میباشد.
پروژه نرم افزار متلب
بهترین و به روزترین پروژه های متلب را رایگان دانلود کنید!
تعیین ماتریس سختی کل و بردار کل نیروها در تحلیل المان میله به روش اجزا محدود
در انتها بعد از بدست آوردن ماتریس سختی هر المان میله ، باید ماتریس سختی کل و همچنین بردار کل نیروهای گرهای محاسبه شوند:
برای این منظور همهی درجات آزادی باید شمارهبندی شوند که در این نوع المان تعداد گره با تعداد درجات آزادی برابر میباشد بنابراین به هر گره یک شماره خواهیم داد. ماتریس سختی کل یک ماتریس مربعی به تعداد کل درجات آزادی میباشد و برای بدست آوردن ماتریس سختی کل باید ابتدا ماتریس سختی هر المان محاسبه شده و سپس هر ماتریس سختی المان در قسمتی که مربوط به درجات آزادی آن است در ماتریس سختی کل قرار گیرد همچنین درجات آزادی المانهایی که با هم مشترک هستند با هم جمع شوند تا ماتریس سختی کل محاسبه شود. برای بردار کل نیروهای گرهای نیز این نکته لازم به ذکر است که این بردار یک ستون و به تعداد درجات آزادی دارای سطر میباشد و مشابه با ماتریس سختی کل محاسبه میشود.
در روابط فوق e برای مشخص کردن هر المان و N تعداد کل درجات آزادی میباشد.
دقت نمایید که اعمال شرایط مرزی برای حل مسئله الزامی میباشد و این اعمال دقیقا مشابه با المان میله میباشد که توصیه میکنیم اگر با این روش مسلط نیستید حتما مقاله تحیل المان فنر به روش المان محدود مطالعه نمایید. اما به طور خلاصه برای اعمال شرایط مرزی به روش حذفی باید سطر و ستونهای مرتبط با ماتریس سختی و سطرهای بردار نیرو را حذف نماییم تا بتوانیم جابهجاییهای مجهول را محاسبه نماییم. بعد از بدست آوردن جابهجاییهای مجهول با استفاده از فرم بدون اعمال ماتریس سختی و بردار نیرو میتوانیم عکسالعملهای تکیهگاهی را نیز محاسبه نماییم.
در مثال ارائه شده با این موارد به طور کلی آشنا خواهیم شد.
حل یک مثال از تحلیل المان میله به روش اجزا محدود
با فرضیات زیر میله شکل زیر را تحلیل نمایید.
برای المان 1 و 2 :
برای المان 3 :
حل این مثال بسیار ساده است و اگر کار با المان فنر را کامل بلد باشید، به راحتی قادر خواهید بود این مسئله را حل نمایید:
ابتدا ماتریس سختی هر عضو را بدست میآوریم و دقت نمایید شماره گرهها بر روی ماتریس مشخص شود:
دقت نمایید که ماتریس سختی المان اول و دوم با توجه به یکسان بودن مشخصات مصالح و ابعاد مقطع یکی میشوند و فقط باید شماره گرهها را درست در نظر بگیریم.
سپس ماتریس سختی کل را با توجه به نکات گفته شده در قبل و به طور خلاصه با توجه به شماره درجات آزادی بصورت زیر تشکیل میدهیم:
سپس با استفاده از رابطه اصلی نیرو و جابهجایی بصورت زیر خواهیم نوشت:
با توجه به اینکه گرههای یک و چهار ثابت هستند و با توجه به شرط مرزی حذفی که در مقاله تحلیل فنر به روش المان محدود به طور کامل توضیح داده شد؛ نیروهای 1 و 4 و سطر و ستون 1 و4 در ماتریس سختی حذف میشوند و در نتیجه معادله قابل حل خواهد بود:
با حل معادله فوق جابهجاییها بصورت زیر محاسبه میشوند:
حال با بدست آوردن مجهولات جابهجایی میتوانیم عکسالعملهای تکیهگاهی را با توجه به فرم اولیه معادله نیرو-جابهجایی بدست آوریم:
محاسبه تنش در هر یک از اعضا در تحلیل المان میله به روش اجزا محدود
در ادامه تحلیل المان میله به روش اجزا محدود میخواهیم تنش را در هر کدام از اعضای المان محاسبه نماییم. اگر مقاله تحلیل المان فنر را خوانده باشید به راحتی میتوانید تنش را در هر المان محاسبه نمایید. برای این منظور اگر به خاطر داشته باشید نیروهای داخلی هر المان از بدست آمدن نیروها با توجه به ماتریس سختی هر المان و جابهجایی دوسر المان بصورت زیر محاسبه میشد:
سپس با استفاده از رابطه بین نیرو و تنش، تنش داخلی عضو محاسبه میشود:
برای بدست آوردن تنش باید نیرو را بر سطح مقطع تقسیم نماییم که به رابطه زیر خواهیم رسید:
دقت نمایید که در المان میله نیازی به تعریف المانها در مختصات گلوبال نخواهیم داشت و به عبارت دیگر مختصات محلی و گلوبال یکی خواهند بود اما در تعریف المان خرپا و همچنین قاب باید با استفاده از ماتریس انتقال جابهجایی محوری در هر المان را به مختصات کلی ببریم. البته این موضوع بحث مقاله بعدی ما خواهد بود.
این مقاله با بدست آوردن ماتریس سختی به دو روش انرژی و گلرکین ادامه خواهد یافت و همچنین قادر خواهیم بود با روش انرژی مسائلی با بارگذاری گسترده را به راحتی حل نماییم…
در پایان امیدوارم این مقاله مورد توجه شما واقع شود و لطفا نظرات و سوالات خود را در زیر این پست با ما در میان بگذارید. به شما توصیه میکنیم سایر پستهای آموزشیِ متلب را در صفحه آموزش « برنامهنویسی متلب » مطالعه نمایید.
منبع : کتاب اجزا محدود لوگان
مطالب زیر را حتما مطالعه کنید
کار با بردارها در متلب
آموزش کامل انواع دستورات توزیعهای آماری در متلب
در این مقاله قصد داریم انواع دستورات مهم توزیع های آماری در متلب را به همراه رسم انواع توزیعها و برازش با استفاده از توزیع های آماری بیان نماییم.
آموزش جامع و کامل تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود
در اولین مجموعه از مقالات آموزشی روش اجزا محدود، آموزش جامع و کامل تحلیل المان فنر به روش المان محدود را همراه با مثال برای شما عزیزان بیان خواهیم کرد.
روش اجزا محدود – Finite Element Method
روش اجزا محدود یک روش عددی برای حل مسائل مهندسی و فیزیکی میباشد. در این مقاله به طورکلی با کاربرد، تاریخچه و مراحل حل این روش آشنا خواهیم شد.
آموزش جامع انواع دستورات توزیع نرمال در متلب
در این مقاله انواع دستورات توزیع نرمال در متلب را به شما آموزش میدهیم.همچنین نحوه کار با توزیع های نرمال تک متغیره و چند متغیره را با جزئیات خواهید آموخت.
آموزش صفر تا 100 کار با فایل اکسل در متلب بصورت کاربردی
در این مقاله به صورت کاملا کاربردی و آسان کار با فایل اکسل در متلب را به شما آموزش خواهیم داد که همه زیردستوارت و تنظیمات با توضیحات کامل شرح داده میشود.
2 دیدگاه
به گفتگوی ما بپیوندید و دیدگاه خود را با ما در میان بگذارید.
عالی بود ممنون
خیلی ممنون مصطفی جان که نظرت رو با ما به اشتراک گذاشتی.