روش اجزا محدود – Finite Element Method
روش اجزا محدود (Finite Element Method) یا المان محدود یک روش عددی برای حل مسائل مهندسی و فیزیکی مبتنی بر ریاضی میباشد. این مسائل شامل تحلیل سازهها، انتقال حرارت، جریان سیال، انتقال جرم و مسائل پتانسیل الکترومغناطیسی میباشد.
ویژگی بسیار مهم روش اجزا محدود این است که در این روش میتوانیم انواع هندسههای پیچیده، بارگذاری و مواد مختلف را در مسائل منظور نماییم که این حالات پیچیده در حلهای تحلیل غیرممکن یا بسیار دشوار میباشد. روشهای تحلیلی در اغلب موارد نیاز به حل یک معادله دیفرانسیل جزئی یا معمولی میباشد که در حالتهای پیچیده هندسه ، بارگذاری و مواد معمولا قابل استفاده نیستند بنابراین برای حل اینگونه مسائل ما نیاز به یک روش عددی مانند روش اجزا محدود داریم.
به طور کلی در روشهای عددی از جمله روش اجزای محدود برای پاسخ یک سیستم معادلات دیفرانسیل به معادلات جبری تبدیل شده که دارای حل بسیار سادهتری میباشند.
در روش اجزا محدود کل دامنه حل به بخشهای کوچکی به نام المان یا همان اجزای محدود تقسیم میشود. این المانها در نقاطی به نام گره یا نود به هم متصل میشوند
در این روش به جای حل مسئله برای کل یک سیستم، ما فرمولبندی معادلات را برای هر المان و با ترکیب آنها برای کل سیستم، پاسخ برای کل یک سیستم بدست میآید.
در یک کلام ساده برای مسائل سازهای تغییرمکان در گرهها و تنش در داخل هر المان به واسطهی بارگذاری وارده خروجیهای تحلیل میباشد. همچنین در مسائل غیرسازهای به عنوان نمونه در گرهها دما یا فشار یک سیال به واسطه حرارت یا شار سیال به عنوان خروجی تحلیل مدنظر میباشد.
تاریخچه روش اجزا محدود
توسعه روش اجزا محدود مدرن از سال 1940 در رشتههای مهندسی با کار کردن Hrennikoff در سال 1941 و McHenry در سال 1943 آغاز شد که آنها از المانهای خطی میله و تیر برای بدست آوردن تنش در اعضای جامد استفاده کردند.
در سال 1947 Levy روش نیرو یا نرمی را گسترش داد و در سال 1953 روش سختی یا همان جابهجایی را پیشنهاد داد و از آنها برای تحلیل سازههای فضایی استفاده کرد که استفاده از این روشها با دست بسیار طولانی و زمان بر بود.
در سال 1954 Argyris و Kelsey روش تحلیل ماتریسی سازهها را بر مبنای اصل انرژی توسعه دادند که نقش بسیار مهمی در روش اجزا محدود میکند.
در سال 1956 Turner و همکاران ماتریس سختی را برای المانهای خرپا ، تیر و المانهای دوبعدی مثلثی و مستطیلی را با استفاده از روشی به نام روش سختی مستقیم بدست آورده اند همراه با زمانی که کامپیوترهای دیجیتال در دهه 50 گسترش پیدا کرده بودند. عبارت اجزا محدود اولین بار توسط Clough در سال 1960 زمانی که المانهای مثلثی و مستطیلی برای مسائل تنش صفحهای استفاده شد، مطرح شد.
در سال 1961 Melosh ماتریس سختی را برای المان خمش صفحات مستطیلی توسعه داد که این مبنا برای توسعه ماتریس سختی المان خمش پوستهای خمیده برای پوستههای محوری و مخازن تحت فشار توسط Grafton و Strome استفاده شد.
گسترش روی المان محدود برای المانهای سه بعدی با توسعه ماتریس سختی المانهای چهاروجهی توسط Martin در سال 1961 ، Gallagher و همکاران در سال 1962 و Melosh در سال 1963 دنبال شد. بقیه المانهای سه بعدی توسط Argyris در سال 1964 مطالعه شد.
بسیاری از کارهای روی روش اجزا محدود تا اوایل سال 1960 با فرض رفتار الاستیک ، جابهجاییهای کوچک و بارگذاری استاتیکی انجام شد. اما در سال 1960 Turner و همکاران اثر حرارتی و تغییرشکلهای بزرگ را در نظر گرفتند. همچنین Gallagher و همکاران اثرات غیرخطی مواد را در نظر گرفتند. در سال 1963، Gallagher and Padlog مسائل کمانش را در تحلیل اجزا محدود اولین بار مطرح کردند و Zienkiewicz و همکاران در سال 1968 این روش را برای مسائل ویسکوالاستیک گسترش دادند.
در سال 1965، Archer تحلیل دینامیکی را در روش اجزا محدود توسعه داد.
در سال 1963 Melosh’s روش اجزا محدود را با در نظر گرفتن حساب تغییرات برای حل مسائل غیرسازهای استفاده کرد. این مسائل شامل پیچش میلهها ، جریان سیال و انتقال حرارت میباشد که توسط محققین مختلف مطرح شد.
در سال 1969 از گسترش این روش ، روش باقی مانده وزنی توسط Szabo and Lee مطرح شد که ابتدا برای حل معادلات الاستیسیته و سپس توسط Zienkiewicz and Parekh برای حل مسائل گذرا در سال 1970 استفاده شد.
در سال 1976 Belytschko مسائل مرتبط با رفتار دینامیکی غیرخطی با اثر تغییرشکلهای بزرگ در نظر گرفت و تکنیک عددی را برای حل سیستمی از معادلات بهبود داد.
زمینه جدید روش اجزا محدود در مهندسی بایو (بیومکانیک) میباشد که همچنان در مسائل غیرخطی پیچیدگیهایی در این روش وجود دارد.
نقش کامپیوترها در روش المان محدود
تا اوایل سال 1950 روش اجزا محدود برای حل مسائل پیچیده به راحتی قابل استفاده نبود. اما این روش برای حل سازههای پیچیده استفاده میشد که تعداد بسیار زیادی معادلات جبری باید حل میشد. با ظهور کامپیوترهای جدید حل این معادلات زیاد در تنها چند دقیقه ممکن شد.
با توسعهی کامپیوترها از سال 1950 تا الان نوشتن برنامههای محاسباتی قوت زیادی گرفت.
برنامههای رایانهای اجزا محدود هم اکنون میتوانند در رایانههای شخصی اجرا شوند.
اطلاعاتی ورودی که در یک مدل اجزا محدود باید وارد شود شامل : مکان قرارگیری و مختصات گرهها، نحوه اتصال المانها به یکدیگر، مشخصات مصالح المانها ، بارهای وارد شده و شرایط مرزی میباشد و هر نوعی از تحلیل که مدنظر است، میتواند برروی مسئله اجرا شود.
مراحل انجام روش اجزا محدود
در 8 مرحله کلی مراحل تحلیل با استفاده از روش المان محدود را به طور کلی بیان خواهیم کرد.
1- تقسیم کردن یک جسم به المانها کوچکتر
در مرحله اول باید یک جسم به تعداد کوچکتری المان تقسیم شود که انتخاب نوع المان به مقدار زیادی وابسته به رفتار فیزیکی آن جسم میباشد. برای مشبندی نوع المان و سایز هر المان حائز اهمیت است. در انتخاب سایز المان هرچه اندازه المانها کوچکتر و همچنین در صورت ممکن از المانهای مرتبه بالاتر( المانهایی که تعداد بیشتری گره در آنها وجود دارد) استفاده شود دقت تحلیل بالاتر میرود.
انواع المانهای یکبعدی، دوبعدی و سه بعدی را در تصاویر زیر مشاهده میکنید.
همانطور که مشاهده میکنید المانهای مرتبه بالاتر دارای یک گره در وسط هر ضلع میباشند.
2- انتخاب تابع تغییرشکل
در این مرحله باید یک تابع تغییرشکل برای تخمین تغییرشکل بین گره در داخل المان انتخاب شود. این تابع میتواند بصورت چندجملهای خطی ، درجه 2 و یا درجه 3 انتخاب شود به این دلیل که کار با چندجملهایها راحت میباشد. دقت شود که مثلا برای یک المان دوبعدی این تابع وابسته به مختصات (x,y) میباشد.
3- تعیین رابطه تغییرمکان- کرنش و تنش-کرنش
تعیین این روابط برای بدست آوردن معادلات برای هر المان ضروری میباشد. برای حالت یک بعدی در جهت x این معادلات بصورت زیر تعریف میشود:
در رابطه بالا E مدول الاستیسیته ، u تغییرشکل، σ تنش و ε کرنش در راستای x میباشد.
4- محاسبه ماتریس سختی هر المان
برای نوشتن ماتریس سختی یک المان سه روش وجود دارد: 1- روش تعادل مستقیم 2- روش کار یا انرژی 3- روش باقی مانده وزنی. در مقالات بعدی هر کدام از این روشها را توضیح خواهیم داد.
دقت شود که برای بدست آوردن ماتریس سختی در المانهای دو و سه بعدی استفاده از روشهای اول و سوم دشوار میباشد و استفاده از روش انرژی بسیار کارآمد میباشد و معمولا از این روش برای اکثر المانها استفاده میشود. در نهایت با استفاده از ماتریس سختی هر المان، رابطه نیرو و سختی را بصورت زیر خواهیم نوشت:
که در رابطه بالا d بردار جابهجاییهای گرهای و f بردار نیروهای گرهای برای هر المان میباشد. همچنین k ماتریس سختی المان میباشد
اگر علاقهمند به یادگیری نرمافزار متلب هستید که کاربرد بسیار زیادی در زمینه تحلیل المان محدود دارد حتما به صفحه آموزش متلب گام98 سر بزنید.
5- اسمبل کردن ماتریس سختی و اعمال شرایط تکیهگاهی
در ادامه روش اجزا محدود ماتریس سختی بدست آمده برای هر کدام از المانها در مرحله قبلی باید اسمبل شوند تا ماتریس سختی کل بدست آید. این سرهمبندی یا همان اسمبل کردن با استفاده از شمارهبندی هر کدام از گرهها و درجات آزادی تعیین میشود. ابعاد ماتریس سختی کل به تعداد کل درجات آزادی میباشد.
در نهایت با استفاده از رابطه نیرو و جابهجایی رابطه کلی زیر را مینویسیم:
در این رابطه K ماتریس سختی کل میباشد و F و d بردار نیروهای گرهای و بردار جابهجایی کلی گرهها میباشد.
ماتریس K یک ماتریس تکین میباشد که دترمینان آن مساوی صفر میباشد. بنابراین برای بدست آوردن بردار جابهجایی باید شرایط مرزی در مسئله اعمال شود. اینکار با حذف سطر و ستونهای مربوط به درجات آزادی Fix انجام خواهد شد که به آن روش حذفی میگویند. هرچند روشهای دیگری نیز برای اعمال شرایط مرزی وجود دارد. در ادامه میتوانیم بردار جابهجایی d را محاسبه نماییم.
6- بدست آوردن تغییرشکل درجات آزادی مجهول
همانطور که میدانید مقادیر تغییرشکل در درجات آزادی Fix یا همان بسته صفر میباشد. برای درجات آزادی باز معادله فوق با کمک روشهای حذفی گوس و روش تکراری گوس-سایدل حل میشود. به طور سادهتر این معادله بصورت زیر با معکوسگیری از ماتریس سختی بدست میآید:
7- بدست آوردن تنش و کرنش در المانها
با استفاده از جابهجاییهای گرهای و با کمک روابط مرحله 3 میتوان تنش و کرنش در هر المان را محاسبه نمود. لازم به دکر است که این رابطه فقط برای المان یک بعدی ذکر شده بود.
8- تفسیر نتایج
در نهایت هدف اصلی تحلیل تفسیر و استفاده از نتایج میباشد. با استفاده از این نتایج میتوان کنترل تنش و تغییرشکل در المانهای یک سیستم را بررسی نمود و آنها را با مقدارهای مجاز برای هر ماده مقایسه نمود و در نهایت برای طراحی یک سازه تغییرات لازم را اعمال نمود.
کاربرد روش اجزا محدود
این روش را میتوان برای تحلیل مسائل سازهای و غیرسازهای استفاده نمود که انواع این مسائل بصورت زیر میباشد:
برای اعضای سازهای:
1- تحلیل تنش شامل اعضای خرپا و قابها، مسائل تمرکز تنش، مخازن تحت فشار، ابزار پزشکی، سازههای هوافضا و تجهیزات ورزشی و …
2- مسئله کمانش برای قابها، ستونها و مخازن
3- تحلیل ارتعاشی برای تجهیزات نوسانی
4- مسائل ضربه شامل تصادف وسایل نقلیه، ضربه پرتابه و …
برای اعضای غیرسازهای
1- مسئله انتقال حرارت در موتورهای و سیستمهای خنک کنننده
2- جریان سیال شامل تراوش آب در خاک در سدها، در بحث سیستمهای تهویه هوا و …
3- توزیع پتانسیل الکتریکی و مغناطیسی در ترانزیستورها و آنتنها
و در نهایت در حل بعضی مسائل مهندسی بیومکانیک شامل ستون فقرات، جمجمه، کاشت دندان، مفاصل لگن، فک و لثه ، چشم و قلب.
نمایش برخی کاربردهای روش المان محدود
1- برج کنترل یک راهآهن:
این برج شامل یک قاب سهبعدی که مجموعهای المانهای تیر را دارا میباشد. شامل 48 المان و 28 گره میباشد. هر گره شامل سه چرخش و سه مولفه جابهجایی انتقالی میباشد. مجموع درجات آزادی چرخشی و انتقالی کل درجات آزادی را بیان میکنند.
2- انتهای یک میله استوانهای هیدرولیک
این میله با 120 گره و 297 المان مثلثی کرنش صفحهای مدل شده است که هدف از تحلیل این بخش از میله مشخص کردن محل تمرکز تنش زیاد در انتهای میله میباشد.
3- توزیع حرارت دوبعدی
این مدل یک مدل دوبعدی برای توزیع حرارت در زمین میباشد که تحت یک منبع حرارتی خط لوله دفنشده انتقال گاز داغ میباشد.
4- مدل سه بعدی لگن انسان
این مدل برای مطالعه تنش بین استخوان و لایه بین استخوان و ایمپلنت میباشد.
این مقاله آموزشی به کوشش تیم تولید محتوای علمی گام98 در راستای ارتقای دانش شما در زمینه روش المان محدود تولید شده است. درصورتی مفید بودن این مقاله آن را به دوستان و آشنایان خود معرفی نمایید.
منبع : کتاب آموزش روش المان محدود نوشته لوگان
مطالب زیر را حتما مطالعه کنید
کار با بردارها در متلب
آموزش کامل انواع دستورات توزیعهای آماری در متلب
در این مقاله قصد داریم انواع دستورات مهم توزیع های آماری در متلب را به همراه رسم انواع توزیعها و برازش با استفاده از توزیع های آماری بیان نماییم.
آموزش صفر تا 100 تحلیل المان میله به روش اجزا محدود
در ادامه دومین سری از آموزشهای روش المان محدود در این مقاله تحلیل المان میله به روش اجزا محدود را همراه با مثال به طور صفر تا صدی آموزش خواهیم داد.
آموزش جامع و کامل تحلیل المان فنر به روش اجزا محدود
در اولین مجموعه از مقالات آموزشی روش اجزا محدود، آموزش جامع و کامل تحلیل المان فنر به روش المان محدود را همراه با مثال برای شما عزیزان بیان خواهیم کرد.
آموزش جامع انواع دستورات توزیع نرمال در متلب
در این مقاله انواع دستورات توزیع نرمال در متلب را به شما آموزش میدهیم.همچنین نحوه کار با توزیع های نرمال تک متغیره و چند متغیره را با جزئیات خواهید آموخت.
آموزش صفر تا 100 کار با فایل اکسل در متلب بصورت کاربردی
در این مقاله به صورت کاملا کاربردی و آسان کار با فایل اکسل در متلب را به شما آموزش خواهیم داد که همه زیردستوارت و تنظیمات با توضیحات کامل شرح داده میشود.
2 دیدگاه
به گفتگوی ما بپیوندید و دیدگاه خود را با ما در میان بگذارید.
من مقالات متلبتون رو دنبال میکنم، خیلی کاربردی و دقیق نوشته شده. ازتون ممنونم.
سلام، ممنون از اظهار لطفتون. موفق باشید.