آموزش مشتق – صفر تا 100 آموزش مشتقگیری
در این آموزش از مجموعه آموزشهای گام98 میخواهیم مشتق را به شما آموزش دهیم. اما چرا این مفهوم اهمیت دارد و چرا از آن استفاده میکنیم؟ اگر بخواهیم شیب یک منحنی در یک نقطه تعیین نماییم و یا نرخ تغییرات یک تابع را اندازهگیری نماییم؛ باید از مشتق استفاده نماییم.
فهرست مطالبی که در این مقاله میخوانیم:
- کاربرد مشتق
- تعریف شیب خط مماس بر یک تابع
- نرخ تغییر : مشتق در یک نقطه
- مشتقگیری یک تابع با استفاده از تعریف
- نحوه نمایش مشتقها
- مشتق یک تابع روی بازه و مشتقگیری تک جهته
- نقاط مشتقناپذیری یک تابع
- قوانین مشتقگیری
- مشتق توابع توانی
- مشتق مراتب بالاتر
کاربرد مشتق
مشتق یکی از مهمترین مسائل کلیدی در حساب دیفرانسیل و انتگرال میباشد. این مفهوم در رنج گستردهای از مسائل ریاضیات، علوم پایه، علوم مهندسی، اقتصادی و پزشکی مورد استفاده قرار گرفته است. بخشی از این کاربردها شامل موارد زیر میباشد:
محاسبه سرعت و شتاب یک جسم در حال حرکت
نرخ تغییرات جریان داخل یک سیال در سطوح مختلف این سیال
تعریف مسیری که یک اشعه نور از یک نقطه در هوا به یک نقطه در آب میرسد.
پیدا کردن تعداد مواردی برای تولید محصول که شرکت تولیدکننده انجام دهد، تا بتواند به حداکثر سود برسد.
مطالعه شیوع بیماریهای عفونی مانند کرونا در داخل یک جمعیت
محاسبه خونی که از قلب در دقیق پمپاژ میشود بر مبنای عملکرد ریهها
تعریف شیب خط مماس بر یک تابع
شیب خط مماس بر تابع (y=f(x در نقطه P برابر است با:
با توجه به شکل زیر :
مثال 1
در چه نقطهای از منحنی زیر شیب خطی مماس برابر 0.25- میباشد؟
حل :
خب حالا برای محاسبه شیب 0.25- کافی است به جای a مقدار 2 و 2- قرار دهیم.
توضیحات : در حل مثال فوق از تعریف مشتق استفاده شده و با توجه به تابع f مقادیر جایگذاری و سپس رابطه را ساده کردهایم و سپس به یک مسئله حد رسیده و با جایگذاری مقدار h=0 حد را حل میکنیم.
نرخ تغییر : مشتق در یک نقطه
مثال2
نرخ تغییرات حجم یک توپ (V=(4/3)πr^3) نسبت به شعاع، زمانی که شعاع برابر 2 میباشد را بدست آورید.
نکته: دقت نمایید در محاسبات با استفاده از تعریف در رابطه فوق از اتحاد مکعب دو جملهای استفاده شده است. همچنین میتوانستیم مقدار r برابر 2 را از ابتدا وارد نماییم. در آخر با جایگذاری h برابر صفر چون حد هیچ ابهامی ندارد به جواب خواهم رسید. در ادامه با قوانین مشتق که آشنا میشویم میتوانیم این مشتقات را با استفاده از فرمول به راحتی محاسبه نماییم.
مشتق یک تابع با استفاده از تعریف
مشابه با قبل در یک نقطه برای تابع (y=f(x نیز میتوان مشتق این تابع نسبت به متغیر x را بصورت زیر تعریف کرد:
اگر تغییر متغیر زیر را در نظر بگیریم، میتوانیم به فرمت دیگری بنویسیم:
از رابطه فوق هم میتوانیم برای بدست آوردن مشتق یک تابع استفاده نماییم و در این حالت z باید به سمت x میل نماید. با توجه به شکل زیر این تعاریف سادهتر مشخص میشود. همانطور که مشاهده مینمایید این مقدار برابر ارتفاع به طول خط مورب میباشد که همان بیانگر شیب میباشد.
مثال 3
با سادهسازی رابطه فوق خواهیم داشت:
مثال 4
نحوه نمایش مشتق
برای نمایش آن شیوههای زیر استفاده میشود.
مشتق یک تابع روی بازه و مشتق تک جهته
مشتق برای تابع f بر روی یک بازه میتواند وجود داشته باشد به شرط اینکه برای تمامی نقاط داخل و مرزهای این بازه مشتق وجود داشته باشد.
مشتق سمت راست در نقطه a
مشتق سمت چپ در نقطه b
مثال5
مشتق تابع زیر را در مبدا با استفاده از تعریف مشتق بررسی نمایید.
توضیحات: دقت نمایید برای محاسبه حد چپ و راست باید داخل قدرمطلق تعیین علامت شود که در حالت صفر راست داخل قطرمطلق مثبت و به همین دلیل با علامت مثبت بیرون میآید و در حالت صفر چپ داخل قطرمطلق منفی خواهد شد بنابراین وقتی از قدرمطلق بیرون میاید، باید در یک عدد منفی ضرب شود تا حاصل مثبت شود. در نیز صورت و مخرج ساده شدهاند و چون حد چپ و راست برابر نیستند، تابع در نقطه صفر مشتقپذیر نخواهد بود.
نقاط مشتقناپذیری یک تابع
در 4 حالت زیر تابع دارای مشتق نخواهد بود:
1- در نقاط گوشه یا همان زاویه که شیب در سمت چپ و راست با هم برابر نیستند.
2- در نقطهای که شیب دو طرف برابر نیست و یک طرف برابر مثبت بینهایت و سمت دیگر منفی بینهایت میباشد.
3- در نقطهای که یک شیب بصورت عمودی داریم و هر دوطرف شیب مثبت بینهایت یا منفی بینهایت دارند.(شیب هر دوسمت برابرند.)
4- یک ناپیوستگی در تابع وجود دارد که باعث میشود که باعث میشود به دو فرم زیر تابع در نقطه p پیوسته نباشد.
نکته مهم: اگر تابعی مشتقپذیر باشد، حتما پیوسته نیز خواهد بود اما عکس این رابطه برقرار نیست.
قوانین مشتقگیری
در ادامه پنج قانون اصلی را در این موضوع بیان میکنیم که با این قوانین میتوانیم بدون استفاده از تعریف مشتق بسیاری از توابع را محاسبه نماییم.
1- برای توابع ثابت : توابعی که در کل بازه یک مقدار ثابت هستند.
2- برای توابعی با توان ثابت
3- برای ضرب یک تابع در عدد ثابت
4- برای جمع دو تابع : اگر u و v دو تابع دلخواه باشند:
5- برای ضرب دو تابع
6- برای تقسیم دو تابع
نکته : اثبات تمامی این قوانین با استفاده از تعریف مشتق به راحتی امکانپذیر است و برای نشان دادن آن یک مورد را در ادامه اثبات خواهیم کرد.
مشتق توابع توانی (نمایی)
برای توابع توانی با استفاده از تعریف خواهیم داشت:
اگر دقت نماییدعبارت داخل پرانتز یک عدد ثابت میباشد و مطابق اثبات زیر برابر با مشتق تابع توانی در نقطه صفر میباشد:
حل ما باید بتوانیم حد تابع بالا را تخمین بزنیم. برای این منظور اگر تابع موردنظر را برای مقادیر مختلف a ترسیم نماییم به نمودار روبهرو خواهیم رسید که برای مقدار e (عدد نپر: حدود2.7) حد این تابع در نقطه صفر برابر یک خواهد بود. بنابراین با استفاده از این نکته میتوانیم مشتق تابع نمایی طبیعی را محاسبه نماییم.
مشتق تابع نمایی طبیعی (e)
با توجه به نکته گفته شده در بالا برای تابع نمایی خواهیم داشت:
مثال 6
برای توابع زیر با استفاده از قوانین مشتقگیری محاسبات را انجام دهید.
یک نکته مهم برای حل مثال بعدی
نکته بسیار مهم: اگر در توابعی که با آن سر و کار داریم عبارتی به جای x عبارت کلیتری داشته باشیم مانند u و v داشته باشیم، باید بصورت زیر عمل نماییم:
یعنی برای یک تابع کلی باید ابتدا مشتق عبارت داخلی گرفته شود و سپس فرم تابع اصلی مشتقگیری میشود. البته ما در مثالهای قبلی نیز با استفاده از قوانین عملا این کار را انجام داده بودیم. در مثال زیر این رابطه مشخص خواهد شد:
نکته این مثال
مشتق مراتب بالاتر
در جدول زیر نمادها برای مشتقات مرتبه دوم و مراتب بالاتر را مشاهده مینمایید.
مثال 7
برای تابع چندجملهای زیر مشتقات تابع را تا جایی ادامه دهید که صفر شود.
این مقاله با بررسی نکات دیگر مشتقگیری بصورت کامل ادامه خواهد داشت.
با ما همراه باشید….
1 دیدگاه
به گفتگوی ما بپیوندید و دیدگاه خود را با ما در میان بگذارید.